وثيقة
Theoretical and practical aspects of fractional diffrential equations
الناشر
Sultan Qaboos University
ميلادي
2018
اللغة
الأنجليزية
الملخص الإنجليزي
We discuss standard approaches to the problem of fractional derivatives and fractional integrals (simply called differintegrals) namely, the Riemann-Liouville, the Caputo and the Grunwald -Letnikov approaches. We study the basic properties of differintegrals including the rules for their compositions and the conditions for the equivalence of various definitions with examples. Further, we give a brief survey of the basic methods for solving fractional differential equations. In addition, we state the existence and uniqueness theorems with methods of solving initial value problems with fractional derivative with consideration of dependence of solutions on initial conditions. Finally, we consider some physical applications, the Tautochrone curve and modelling heat transfer in heterogeneous media where fractional derivatives are involved.
الوصف
رسالة جامعية
المجموعة
URL المصدر
الملخص العربي
الملخص
دراsm pshf التفاضل والتكامل الجزئي تفتح أفاق وفروع جديدة تماما للتعلم. وعلى الرغم من أن فكرة حساب التفاضل والتكامل الجزئي قد ولدت قبل أكثر من 300 عام، إلا أنها لم تكرس جهودا جادة لدراستها إلا مؤخرا ويعتبر حساب التفاضل والتكامل الجزئي الكسري فرع رياضي يحقق في خصائص المشتقات والتكاملات لأعداد غير صحيحة تسمى المشتقات والتكاملات الكسرية، وبالإضافة إلى ذلك، فإنه مرتبط بأساليب حل المعادلات التي تحتوي على مشتقات کسرية للدالة المجهولة تسمى المعادلات التفاضلية الكسرية الجزئية. وقد استخدم حساب التفاضل والتكامل الكسري الجزئي لوصف نماذج في العديد من الظواهر في الهندسة والفيزياء والكيمياء والعلوم الأخرى ولم يتم تطويره لفترة طويلة بسبب تعقيد عوامل ومحركات الكسور وايضا عدم وجود تطبيقات كثيرة من هذه المادة تعالج المشكلات الحياتية تتناول هذه الرسالة المواضيع على النحو التالي: في الفصل الأول ترد المقدمة مع نبذه تاريخية موجزة ونقطة بداية هذا العلم من خلال تعميم علاقة كوشي التكامل المتكرر والتحويل البلاسي والخلفية الرياضية حول حساب التفاضلات والتكاملات الكسرية. ويوفر الفصل الثاني الأساليب والأدوات اللازمة للفصول القادمة للمساعدة في فهم تعريفات حساب التفاضلات والتكاملات الجزئية من رتب کسرية ويوضح كيفية استخلاص الحلول التحليلية للمعادلات التفاضلية الكسرية الجزئية ومن أهم هذه الأدوات دالة البيتا والجاما ودالة الميتاغ ليفلر، وكذلك التحويل اللبلاسي.
يناقش الفصل الثالث تعريفات المشتقات والتكاملات الكورية الجزئية والتي وردت فيها ثلاث صيغ تعريفية وهي ریمان ليوفيلي وكابوتو وغرونوالد - ليتنكوف. حيث قمت بدراسة الخصائص الأساسية للصياغات مع مناقشة العلاقات بينها بما في ذلك قواعد تركيباتها وشروط الدالة لمختلف التعريفات مع بعض الأمثلة الدقيقة، فالمثال الأول هو المثال الأكثر فائدة للمشتقات والتكاملات لعدد غير صحيح تتضمن حالة الرتبة نصف التي ترد فيها الدالة الأسية ودالتي الجيب وجيب التمام والمثال الثاني يتضمن دالة القوى المتعلقة بتعریف ریمان ليوفيلي وكابوتو للتكاملات والاشتقاقات الكسرية . أما في الفصل الرابع قمت بدراسة نظريات وجود حلول وحيده للمعادلات الخطية الكسرية والعامة مع البراهين المتعلقة بها، بالإضافة إلى ذلك تمت مناقشة نظريات وجود حل وحيد مع أساليب حل مشاكل القيمة الأولية مع المشتقات الكسرية وإدخال اعتماد الحلول على الشروط الأولية . الفصل الخامس إشتمل على اثنين من التطبيقات الفيزيائية الرياضية، في التطبيق الأول (مشكلة منحني تاوتوخرون) أوردت مسألة منحنى الزمن المتساوي كتطبيق لحل معادلة أبل التكاملية (1823) بواسطة المشتقات من الرتبة نصف وقد طبق حساب التفاضل والتكامل في حل المعادلة التكاملية التي تنشأ في صياغة مشكلة منحنی تاوتوخرون لتحديد شكل المنحني بحيث يكون زمن نزول جسم ينزلق في منحني تحت الجاذبية الموحدة مستقلا عن نقطة انطلاق الجسم. وفي التطبيق الثاني أدرجت نتائج عملية نقل الحرارة في الأوساط غير المتجانسة ويمكن وصف عملية نقل الحرارة في مادة صلبة بواسطة المعادلات التفاضلية الجزئية ولكن في الأوساط غير المتجانسة يمكن وصفها بواسطة معادلة الانتشار الغير طبيعي ينتج عنها معادلة تفاضلية كسرية جزئية وفق ترتيب كسري جزئي كما إننا نقوم أيضا بتعديل العلاقة الرئيسية بين التدفق الحراري ودرجة الحرارة، ونحصل في هذه الحالة على معادلة نقل الحرارة في
دراsm pshf التفاضل والتكامل الجزئي تفتح أفاق وفروع جديدة تماما للتعلم. وعلى الرغم من أن فكرة حساب التفاضل والتكامل الجزئي قد ولدت قبل أكثر من 300 عام، إلا أنها لم تكرس جهودا جادة لدراستها إلا مؤخرا ويعتبر حساب التفاضل والتكامل الجزئي الكسري فرع رياضي يحقق في خصائص المشتقات والتكاملات لأعداد غير صحيحة تسمى المشتقات والتكاملات الكسرية، وبالإضافة إلى ذلك، فإنه مرتبط بأساليب حل المعادلات التي تحتوي على مشتقات کسرية للدالة المجهولة تسمى المعادلات التفاضلية الكسرية الجزئية. وقد استخدم حساب التفاضل والتكامل الكسري الجزئي لوصف نماذج في العديد من الظواهر في الهندسة والفيزياء والكيمياء والعلوم الأخرى ولم يتم تطويره لفترة طويلة بسبب تعقيد عوامل ومحركات الكسور وايضا عدم وجود تطبيقات كثيرة من هذه المادة تعالج المشكلات الحياتية تتناول هذه الرسالة المواضيع على النحو التالي: في الفصل الأول ترد المقدمة مع نبذه تاريخية موجزة ونقطة بداية هذا العلم من خلال تعميم علاقة كوشي التكامل المتكرر والتحويل البلاسي والخلفية الرياضية حول حساب التفاضلات والتكاملات الكسرية. ويوفر الفصل الثاني الأساليب والأدوات اللازمة للفصول القادمة للمساعدة في فهم تعريفات حساب التفاضلات والتكاملات الجزئية من رتب کسرية ويوضح كيفية استخلاص الحلول التحليلية للمعادلات التفاضلية الكسرية الجزئية ومن أهم هذه الأدوات دالة البيتا والجاما ودالة الميتاغ ليفلر، وكذلك التحويل اللبلاسي.
يناقش الفصل الثالث تعريفات المشتقات والتكاملات الكورية الجزئية والتي وردت فيها ثلاث صيغ تعريفية وهي ریمان ليوفيلي وكابوتو وغرونوالد - ليتنكوف. حيث قمت بدراسة الخصائص الأساسية للصياغات مع مناقشة العلاقات بينها بما في ذلك قواعد تركيباتها وشروط الدالة لمختلف التعريفات مع بعض الأمثلة الدقيقة، فالمثال الأول هو المثال الأكثر فائدة للمشتقات والتكاملات لعدد غير صحيح تتضمن حالة الرتبة نصف التي ترد فيها الدالة الأسية ودالتي الجيب وجيب التمام والمثال الثاني يتضمن دالة القوى المتعلقة بتعریف ریمان ليوفيلي وكابوتو للتكاملات والاشتقاقات الكسرية . أما في الفصل الرابع قمت بدراسة نظريات وجود حلول وحيده للمعادلات الخطية الكسرية والعامة مع البراهين المتعلقة بها، بالإضافة إلى ذلك تمت مناقشة نظريات وجود حل وحيد مع أساليب حل مشاكل القيمة الأولية مع المشتقات الكسرية وإدخال اعتماد الحلول على الشروط الأولية . الفصل الخامس إشتمل على اثنين من التطبيقات الفيزيائية الرياضية، في التطبيق الأول (مشكلة منحني تاوتوخرون) أوردت مسألة منحنى الزمن المتساوي كتطبيق لحل معادلة أبل التكاملية (1823) بواسطة المشتقات من الرتبة نصف وقد طبق حساب التفاضل والتكامل في حل المعادلة التكاملية التي تنشأ في صياغة مشكلة منحنی تاوتوخرون لتحديد شكل المنحني بحيث يكون زمن نزول جسم ينزلق في منحني تحت الجاذبية الموحدة مستقلا عن نقطة انطلاق الجسم. وفي التطبيق الثاني أدرجت نتائج عملية نقل الحرارة في الأوساط غير المتجانسة ويمكن وصف عملية نقل الحرارة في مادة صلبة بواسطة المعادلات التفاضلية الجزئية ولكن في الأوساط غير المتجانسة يمكن وصفها بواسطة معادلة الانتشار الغير طبيعي ينتج عنها معادلة تفاضلية كسرية جزئية وفق ترتيب كسري جزئي كما إننا نقوم أيضا بتعديل العلاقة الرئيسية بين التدفق الحراري ودرجة الحرارة، ونحصل في هذه الحالة على معادلة نقل الحرارة في
قالب العنصر
الرسائل والأطروحات الجامعية
حجم الملف
1.08 ميغا بايت
0
0
