تتناول هذه الدراسة الحلول التحليلية لأحد أنواع المعادلات التفاضلية الجزئية تدعى معادلات التطور اللاخطية والتي لها تطبيقات في مختلف علوم الفيزياء والطبيعة، حيث تتضمن. هذه المعادلات متغيران مستقلان هما المسافة والزمن، وستركز هذه الدراسة على ايجاد نوع هام من الحلول التحليلية الدقيقة يتمثل في صورة موجة سوليتونية أو منعزلة لمجموعة من المعادلات اللاخطية، وسيتم حل هذه المعادلات باستخدام طريقتين مختلفتين هما طريقة متتالية أو متسلسلة ( G / G ) و طريقة دالة الظل الزائدي - ظل التمام الزائدي.
يتضمن الفصل الثاني من الدراسة حل معادلات وأنظمة الأخطية باستخدام طريقة متتالية أو متسلسلة ( G / G )، وتشمل هذه المعادلات مایلي: المعادلة العامة لموجة المياه الضحلة، و نموذج ويذام بروير كاوب، والمعادلة التفاضلية الجزئية ذات بعد واحد (1+1) من الدرجة الخامسة، والمعادلة التفاضلية الجزئية ذات بعدين من الدرجة الخامسة، ونظام المعادلات التفاضلية الجزئية ذات بعدين من الدرجة الثالثة، وتم التوصل من خلال حل هذه المعادلات إلى حلول تمثل موجات سوليتونية (Soliton) في صيغة دالة القاطع الزائدي مرفوعة لقوة موجبة، وحلول تمثل موجات ملتوية أو معقوفة (Kink) في صيغة دالة الظل الزائدي مرفوعة لقوة فردية موجبة، وحلول منفردة شاذة تمثل موجات في صيغة ظل التمام الزائدي أو قاطع التمام الزائدي مرفوعان لقوة موجبة.
أما الفصل الثالث فيتضمن استخلاص حلول لمعادلات كورتیواج دي فرايز (KdV) اللاخطية باستخدام طريقة الظل الزائدي - ظل التمام الزائدي، حيث تم حل المعادلة القياسية لكورتيواج دي فرایز، والمعادلة المعدلة لكورتیواج دي فرایز، والمعادلة الوضعية لكورتیواج دي فرايز، والمعادلة العامة لكورتيواج دي فرايز، ومعادلة جاردنر، وتم الحصول من خلالها على حلول تمثل موجات سوليتونية في صيغة دالة القاطع الزائدي مرفوعة لقوة موجبة، وحلول تمثل موجات ملتوية أو معقوفة (Kink) في صيغة دالة الظل الزائدي مرفوعة لقوة فردية موجبة، وحلول منفردة شاذة تمثل موجات في صيغة ظل التمام الزائدي أو قاطع التمام الزائدي مرفوعان لقوة موجبة، كما أمكن الحصول على حلول دورية في صيغة دوال مثلثية عند حل جميع الأمثلة السابقة، كذلك تم توضيح بعض النتائج باستخدام الرسم الثلاثي الأبعاد للموجات المختلفة.